Herself32终于学会求导啦QWQ！
导数入门系列文章
导数入门（一）——什么是导数
导数入门（二）——导数的计算
导数入门（三）——导数在研究函数中的作用
导数入门（四）——定积分摸门
本文参考资料（持续更新）
- 曲一线科学备考——高中数学知识清单
- 百度百科
在研究导数之前，我们先认清几个概念。
平均变化率
概念
对于一个函数$f(x)$，我们设$x_1,x_2$是其定义域内不同的两点。
那么这两个点在平面直角坐标系内的坐标就是$A(x_1,f(x_1))$和$B(x_2,f(x_2))$。
那么我们把定义为$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$。
习惯上我们用$\frac{\Delta y}{\Delta x}$来表示。
所以函数$f(x)$从$x_1$到$x_2$这段区间的平均变化率可以表示为：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{f(x_1 + \Delta x) - f(x_1)}{\Delta x}$$
在这个式子里，$\Delta x,\Delta y$可正可负，但$\Delta x \not = 0$。
当$f(x) = c\;(\text{c为常数})$,$\Delta y = 0$。
几何意义
设$A(x_1,f(x_1))$和$B(x_2,f(x_2))$分别为曲线$f(x)$上任意两个不同的点。
那么函数$f(x)$从$x_1$到$x_2$这段区间的平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$就是曲线$f(x)$的割线AB的斜率。
如图：
图源几何画板（Herself32自己画的）
瞬时速度（高中物理）
如果物体的运动规律是$s=s(t)$，那么物体在$t$时刻的瞬时速度$v$就是物体在$t$到$t + \Delta t$这段时间内，当$\Delta t \to 0$时的平均速度的极限。
即：
$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} $$
导数的概念
有了前面的铺垫，我们可以正式的摸导数的门了qwq。
瞬时变化率
如果当$\Delta x \to 0$的时候，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近于某一个常数，我们把这个常数叫做$f(x)$在$x = x_0$处的瞬时变化率。
说明：
对于任何函数来说，瞬时变化率是一个精确值，而不是近似值！
导数
一般的，若函数$f(x)$在$x=x_0$处的瞬时变化率是：
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
我们称它为函数$f(x)$在$x=x_0$的导数，记作$f’(x_0)$或者$y’ |_{x = x_0}$。
即：
$$f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
导函数
导函数的概念
通过上面的学习(瞎扯)我们知道，$f(x)$在$x=x_0$处的导数为$f’(x_0)$。
那么当$x_0$变化的时候，$f(x_0)$也随之变化，那么$f’(x)$就是关于$x$的一个函数。
我们称它为导函数（简称导数）
区别和联系
区别： $f(x)$在$x=x_0$处的导数$f’(x_0)$是一个常量。
但$f’(x)$则随着$x$的变化而变化。
联系： $f(x)$在$x=x_0$处的导数$f’(x_0)$就是导函数$f’(x)$在$x=x_0$时的函数值，这也是求导数的一种方法。
几何意义
函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数$f’(x_0)$的几何意义是：曲线$f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。
求切线方程
题目：
求曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线方程。
解：
第一步
求出函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数$f’(x_0)$。
第二步
利用直线方程的点斜式写出切线方程$y-y_0=f’(x_0) \times (x-x_0)$
练习题
T1 利用导数的定义求导
求$f(x) = x^2+7x$在$x=2$处的导数。
解：
$$\because \Delta y = f(2+\Delta x)-f(2)= (\Delta x + 2)^2 + 7(\Delta x+2)-18=(\Delta x)^2 +11\Delta x$$
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2 +11\Delta x}{\Delta x}=\Delta x + 11$$
$$f’(2) = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0 } \Delta x +11 = 11 $$
T2 利用导数的几何意义做题
已知$f(x)$的图像如图所示，求$f’(x_1)$和$f’(x_2)$的大小关系
画出切线即可得出答案:$f’(x_1)<f’(x_2)$