Herself32终于学会求导啦QWQ！
导数入门系列文章
导数入门（一）——什么是导数
导数入门（二）——导数的计算
导数入门（三）——导数在研究函数中的作用
导数入门（四）——定积分摸门
本文参考资料（持续更新）
- 曲一线科学备考——高中数学知识清单
- 百度百科
在研究导数之前，我们先认清几个概念。
平均变化率
概念
对于一个函数f(x)，我们设x1,x2是其定义域内不同的两点。
那么这两个点在平面直角坐标系内的坐标就是A(x_1,f(x_1))和B(x_2,f(x_2))。
那么我们把定义为\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}。
习惯上我们用\frac{\Delta y}{\Delta x}来表示。
所以函数f(x)从x_1到x_2这段区间的平均变化率可以表示为：
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{f(x_1 + \Delta x) - f(x_1)}{\Delta x}
在这个式子里，\Delta x,\Delta y可正可负，但\Delta x \not = 0。
当f(x) = c\;(\text{c为常数}),\Delta y = 0。
几何意义
设A(x_1,f(x_1))和B(x_2,f(x_2))分别为曲线f(x)上任意两个不同的点。
那么函数f(x)从x_1到x_2这段区间的平均变化率\frac{\Delta y}{\Delta x}就是曲线f(x)的割线AB的斜率。
如图：
图源几何画板（Herself32自己画的）
瞬时速度（高中物理）
如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在t时刻的瞬时速度v就是物体在t到t + \Delta t这段时间内，当\Delta t \to 0时的平均速度的极限。
即：
v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
导数的概念
有了前面的铺垫，我们可以正式的摸导数的门了qwq。
瞬时变化率
如果当\Delta x \to 0的时候，\frac{\Delta y}{\Delta x}无限趋近于某一个常数，我们把这个常数叫做f(x)在x = x_0处的瞬时变化率。
说明：
对于任何函数来说，瞬时变化率是一个精确值，而不是近似值！
导数
一般的，若函数f(x)在x=x_0处的瞬时变化率是：
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
我们称它为函数f(x)在x=x_0的导数，记作f’(x_0)或者y’ |_{x = x_0}。
即：
f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
导函数
导函数的概念
通过上面的学习(瞎扯)我们知道，f(x)在x=x_0处的导数为f’(x_0)。
那么当x_0变化的时候，f(x_0)也随之变化，那么f’(x)就是关于x的一个函数。
我们称它为导函数（简称导数）
区别和联系
区别： f(x)在x=x_0处的导数f’(x_0)是一个常量。
但f’(x)则随着x的变化而变化。
联系： f(x)在x=x_0处的导数f’(x_0)就是导函数f’(x)在x=x_0时的函数值，这也是求导数的一种方法。
几何意义
函数f(x)在x=x_0处的导数f’(x_0)的几何意义是：曲线f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的斜率。
求切线方程
题目：
求曲线y=f(x)在点(x_0,y_0)处的切线方程。
解：
第一步
求出函数y=f(x)在x=x_0处的导数f’(x_0)。
第二步
利用直线方程的点斜式写出切线方程y-y_0=f’(x_0) \times (x-x_0)
练习题
T1 利用导数的定义求导
求f(x) = x^2+7x在x=2处的导数。
解：
\because \Delta y = f(2+\Delta x)-f(2)= (\Delta x + 2)^2 + 7(\Delta x+2)-18=(\Delta x)^2 +11\Delta x
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2 +11\Delta x}{\Delta x}=\Delta x + 11
f’(2) = \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to 0 } \Delta x +11 = 11
T2 利用导数的几何意义做题
已知f(x)的图像如图所示，求f’(x_1)和f’(x_2)的大小关系
画出切线即可得出答案:f’(x_1)<f’(x_2)
v1.5.2